Question

如何用换元思想求函数式

Answer 1

换元法是数学解题的一种重要技巧，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，将生疏的问题变为熟悉，将复杂的计算和推证简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。换元法在解函数问题时有着重要的运用，下面举例说明。
一、求函数定义域
例1.已知f(x-1)的定义域为[1,2]，求f(x)的定义域。
解析 f(x-1) 中的和f(x)中的已经不是同一个变量，实际上里面隐含着一个换元思想，
如果在f(x-1)中设t=x-1，f(x)的定义域即为的范围，由题意知f(x-1)中x∈[1,2]，所以x-1∈[0,1]，t=x-1∈[0,1]，所以f(x)的定义域为[0,1]。
二、求函数值和函数解析式
例2. （1）已知 求。
（2）已知：求满足的的值
分析 已知函数的解析式，求复合函数的表达式，只需用换元的思想将替换为函数即可。
解：（1），
=
（2）解： ，

点评：以上类型的问题要紧紧抓住“换元”的思想，用解析式替换解析式中的变量。
例3.已知，求f(x)的解析式。
分析 将看成一个整体找出对应的关系式即可求得函数解析式。
解 设，则，于是，所以
点评 本题的基本思路是“换元”，紧扣函数概念中的对应思想:x与f(x)对应，则与对应，也可以用凑配的方法得到，但用换元法方向明确、简洁，且可操作性强。
三、 求函数的值域和最值
例4.求函数值域
分析 函数中既有一次式又有根式，可以考虑通过换元升高次数简化函数形式。
解 设（t≥0）则x=t2-1,所以，因为t≥0，所以
所以函数值域为.
点评 本题通过换元将一个复杂陌生的函数转化为我们熟悉的二次函数，但要注意换元后新变量的取值范围，即新函数的定义域。
例5. 设求函数的最大值和最小值。
分析 注意到，设，则原来的函数成为利用闭区间上二次函数的值域的求法可求得函数的最值。
解 设 ，由得，
函数成为，，对称轴，故函数的最小值为当时，因端点较距对称轴远，故当时取最大值。
点评 换元法是在解决涉及指数形式的问题时常用的方法，换元后将问题转化为二次函数在有界区间上的最值或值域或其他问题，可借助于图形解决。
四、研究复合函数的单调性
例6.已知函数，试判断该函数的单调性。
分析 本题是一个简单的复合函数的单调性判断，可以通过将函数的图像向右平移个单位得到，从而判断函数为减函数。也可用换元思想来理解。
解 设，则，当时，t是关于x的一次函数，且一次项系数大于0，因此t随x增大而增大，又因为对数函数的底数小于1，所以y随t的增大而减小，因此我们不难看出，y也是随x的增大而减小的，因此在上是减函数。
点评 分析函数单调性的关键就是观察函数值y随着x的增大是如何变化的，本解法通过换元引入了一个新的变量t，t扮演了一个“传递者”的角色，根据这一点，由内向外，层层分析，达到判定函数单调性的目的。
五 、解函数方程
例7.已知,且.求的表达式.
分析 将和看作两个未知量，为了能得到关于、的二元方程组，在中可以用换元的思想以，立方程组求解。
解 以， 令，，得到关于的二元一次方程组：

点评 以上的方程组中将函数和看作了未知量，这样的方程叫做函数方程。函数方程中的两个未知量通过变量替换一般可以相互转化。
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