Question

已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度

已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时，易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC。只要证这个。怎么证？我后面两问都会了，第一问还不会！！！

Answer 1

方法一：
∵CD是等腰直角三角形斜边的中线，∴∠ACD=45°=∠A，
∴AD=CD，
当DE⊥AC时，AE=CE，SΔCDE=1/2SΔACD，(实际上利用等腰三角形对称性直接可得)，
同理：SΔCDF=1/2SΔBCD，
∴S四边形CEDF=1/2SΔABC。

方法二：
∵∠EDF=∠DEC=∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵D为等腰直角三角形ΔABC的斜边AB中点，
∴CD平分∠ACB，∴∠ECD=45°，
∴ΔCDE是等腰直角三角形，CE=DE，
∴矩形DECF是正方形。
∵CD平分等腰ΔABC，
∴SΔADE=SΔCDE=SΔCDF=SΔBDF，
∴S正方形=1/2SΔABC。

Answer 2

连接CD，∴AD=CD=BD
∵DE⊥AC，
∴AE=CE=CF=BF(三线合一）
∴S△CDE=S△CDF
∴S△CDF+S△DEF=1/2S△ACD+1/2S△BCD
∴S△CEF+S△DEF=1/2S△ABC