Question

已知关于x的一元二次方程x^2-（m-2）*x-m^2/4=0，求证m为任何非零实数时，这个方程总有实数根.

Answer 1

答：
（1）方程为x^2-2(m-2)x-m^2/4
判别式△
=b^2-4ac
=4(m-2)^2-4*1*(-m^2/4)
=4(m-2)^2+m^2
=5m^2-16m+16>0
所以：原方程总有两个相异的实数根。

（2）根据韦达定理得：
x1+x2=2(m-2)
x1*x2=-m^2/4<=0
当m=0时，x1=0，x2=4，不符合|x2|=|x1|+2；
当m≠0时，x1*x2=-m^2/4<0：说明方程的两个根一正一负。
x1=[2(m-2)-√(5m^2-16m+16)]/2<0
x2=[2(m-2)+√(5m^2-16m+16)]/2>0
代入|x2|=|x1|+2整理得：2(m-2)+√(5m^2-16m+16)=2(2-m)+√(5m^2-16m+16)+4
解得：m=3；
x1=1-√13/2
x2=1+√13/2
或者：
x1=[2(m-2)+√(5m^2-16m+16)]/2>0
x2=[2(m-2)-√(5m^2-16m+16)]/2<0
代入|x2|=|x1|+2整理得：2(2-m)+√(5m^2-16m+16)=2(m-2)+√(5m^2-16m+16)+4
解得：m=1；
x1=-1+√5/2
x2=-1-√5/2.

综上所述，m=3时，x1=1-√13/2，x2=1+√13/2；m=1时，x1=-1+√5/2，x2=-1-√5/2.

追问

我的题目好像不是这个呀“x^2-2(m-2)x-m^2/4”而是x^2-（m-2）x-m^2/4=0，

追答

没错啊，只是漏了个0啊

追问

我的题目是-（m-2）x，你打的是-2（m-2）x

追答

(m-2)²-4(-m-1)
=m²-4m+4+4m+4
=m²+8≥8
所以m取任何取，方程都有二个不等实数根
那就是这个咯

追问

方程x^2-（m-2）x-（m^2）/4，关键是要证明m为非零数，怎么证啊？

追答

不用证吧，因为上面已经包含了

追问

不是的，就是要证明m为任何非零实数时方程有实根，就难在怎么证m非零

追答

这不用考虑吧

追问

也许吧，不过谢谢你了，我到时候再看看题目的意思。