Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，E是AB的中点，P是△ABC(包括边界)内任意一点，则

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，E是AB的中点，P是△ABC(包括边界)内任意一点，则向量AD·向量EP的取值范围是

Answer 1

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么 

^AD²=(^AB²+^AC²)/2，

^AB²=^AC²+^BC²=16+4=20．

∴(^AB-^AC)·^AD=(^AB-^AC)·(^AB+^AC)/2 =(^AB²-^AC²)/2=(20-16)/2=2．

以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），

由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），

则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有 

x≥0    

y≥0    

x/4+y/2≤1    

．

令t=^AD·^EP=（-4，1）·（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．

故当直线y=4x+t-7过点A（4，0）时，t取得最小值为7-16+0=-9，

当直线y=4x+t-7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7-0+2=9，

故t=^AD·^EP的取值范围是[-9，9]

用这个符号表示 ^ 向量了

Answer 2

Let P=A you can find the lower bound -9
Let P=B you can get the upper bound 9