Question

一道高中数列求通项公式题目

已知b1=1/2，b(n+1)=(1/bn)+2，求bn？
打错了，是b(n+1)=1/(b(n)+2)

Answer 1

易知b1=1/2,b2=4/1,b3=9/4,
构造另外一组数列Cn,使得bn=Cn/C(n-1),其中C1=1，C2=4，C3=9
将bn=Cn/C(n-1)代入b(n+1)=1/(b(n)+2)得，C(n+1)=2Cn+C(n-1)
C(n+1)=2Cn+C(n-1)=>C(n+1)-(1+√2）Cn=（1-√2）（Cn-(1+√2）C（n-1）），
C(n+1)+(√2-1）Cn=（1+√2）（Cn+(√2-1）C（n-1）），
令dn=Cn-(1+√2）C（n-1），fn=Cn+(√2-1）C（n-1），
可知dn,fn分别是公比为1-√2和1+√2的等比数列，
很容易求出它们的通项公式，Cn-(1+√2）C（n-1)=dn=(1-√2)^(n-2)(3-√2)
Cn+(√2-1）C（n-1)=fn=(1+√2)^(n-2)(3+√2)
联立以上两式可得，Cn=√2/4((1+√2)^(n-1)(3+√2)-(1-√2)^(n-1)(3-√2))
这样我们就得到了bn的通项公式，即
b1=1/2,n>=2时，
bn=Cn/C(n-1)=((1+√2)^(n-1)(3+√2)-(1-√2)^(n-1)(3-√2))/((1+√2)^(n-2)(3+√2)-(1-√2)^(n-2)(3-√2))

Answer 2

解：由b1=1/2 b(n+1)=1/(b(n)+2)得

b2=1/[(1/2)+2]=2/5=2/[2+2²-（2-1）]
b3=1/[(2/5)+2]=5/12=[2²-（2-1）]/[2²-（2-1）+3²-（3-1）]
b4=1/[(5/12)+2]=12/29=[3²-（3-1）]/[[3²-（3-1）]+4²-(4-1)]
∴bn=[(n-1)²-（n-1-1）]/[(n-1)²-（n-1-1）+n²-（n-1）]
=(n²-3n+3)/(2n²-4n+4) (n≠1,2）