Question

在三角形ABC中，角B为60°，AC为根号3，则AB+2BC的最大值为多少？

最大值为2√7≈5.29。
已知△ABC中B=60°，b=√3，那么外接圆直径2R=√3/sin60°=2，设A=60°+α，则C=60°-α据正弦定理c+2a=2sin(60°-α）+4sin(60°+α）
=√3cosα-sinα+2√3cosα+2sinα
=3√3cosα+sinα
=2√7sin(β+α），其中sinβ=3√3/2√7；而cosβ=1/2√7。
故AB+2BC的最大值是2√7。

为什么会想起来这样设设A=60°+α，则C=60°-α

Answer 1

不要拘泥这种解题技巧，也不一定快捷。更一般方法：C=120°-B
由正弦定理：a/sinA=c/sinC=b/sinB=√3/sin60°=2，得：b=2sinB，c=2sinC
所以：AB+2BC=c+2b=4sinB+2sinC=4sinB+2sin（120°-B）
=5sinB+√3cosB
=4√3(5/4√3*sinB+√3/4√3*cosB)
= 4√3sin（B+Q） （ 其中辅助角Q：tanQ=√3/5）
所以最大值：4√3

追问

但是最后的答案应该是2√7

追答

哦，不好意思，计算错了，（5 的平方+根号3的平方）再开方应该是2根号7，我错误为4根号3了，谢谢指正。

追问

对的，多谢...

追答

这种题目考虑辅助角就行了，我们老师说不要太拘泥技巧，考试时按常规思路一般都能解出的。

Answer 2

最大值为2√7≈5.29。
已知△abc中b=60°，b=√3，那么外接圆直径2r=√3/sin60°=2，设a=60°+α，则c=60°-α据正弦定理c+2a=2sin(60°-α）+4sin(60°+α）
=√3cosα-sinα+2√3cosα+2sinα
=3√3cosα+sinα
=2√7sin(β+α），其中sinβ=3√3/2√7；而cosβ=1/2√7。
故ab+2bc的最大值是2√7。