Question

如图，已知AC／／BD，EA、EB分别平分角CAB和角DBA，CD过点E。求证：AB=AC+BD

Answer 1

第一步：附加辅助线1。过点E做一条与AC或BD平行的线EF,F点在AB上。
第二步：因为EF//BD又BE平分角DBA，所以BF=EF;同理得AF=EF,所以AB=2EF且点E和点F分别为CD和AB的中点。
第三步：附加辅助线2。过点D做一条与AB平行的线DG,交EF于O点，G点在AC上。
第四步：因为AB//DG且AG//BD，所以BD=AG=FO,而2EO=GC,所以AB=2EF=2(FO+EO)=2(AG+1/2GC)=2AG+GC=AG+(AG+GC)=BD+AC,即AB=AC+BD。

Answer 2

因为AE是∠CAB的平分线，所以∠CAE=∠FAE，
又AC=AF，AE=AE
所以，△CAE≌△FAE（SAS）
则∠C=∠AFE
又由AC//BD知∠C+∠D=180°
而∠AFE+∠BFE=180°
所以，∠D=∠BFE
又已知EB是∠ABD的平分线，即∠DBE=∠FBE，另外，还有EB=EB
所以利用三角形全等的判断定理AAS知△DBE≌△FBE，
所以，FB=DB

Answer 3

方法一：
过E作EF∥CA交AB于F。
∵AC∥FE，∴∠CAE＝∠AEF，又∠CAE＝∠FAE，∴∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF。
∵AC∥FE、AC∥BD，∴FE∥BD，∴∠BEF＝∠DBE，又∠DBE＝∠FBE，
∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF。
由AF＝EF、BF＝EF，得：AF＝BF，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝（AC＋BD）/2。
由AF＝EF、BF＝EF，得：AF＋BF＝2EF，∴AB＝2EF。
由AB＝2EF、EF＝（AC＋BD）/2，得：AB＝AC＋BD。

方法二：
延长BE交AC的延长线于G。
∵AG∥BD，∴∠AGB＝∠DBG，又∠ABG＝∠DBG，∴∠ABG＝∠AGB，∴AB＝AG。
∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠DBA＝180°，又∠BAE＝∠CAB/2、∠ABE＝∠DBA/2，
∴∠BAE＋∠ABE＝（∠CAB＋∠DBA）/2＝180°/2＝90°，∴AE⊥BG。
由AB＝AG、AE⊥BG，得：BE＝GE。
∵AG∥BD，∴△BDE∽△GAE，又BE＝GE，∴△BDE≌△GAE，∴BD＝GC。
显然有：AG＝AC＋GC，∴AG＝AC＋BD。
由AB＝AG、AG＝AC＋BD，得：AB＝AC＋BD。

Answer 4

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