Question

当-π/2≤x≤π/2时，求函数f(x)=sinx+√3cosx的值域.

当-π/2≤x≤π/2时，求函数f(x)=sinx+√3cosx的值域.

请问我这么做有问题吗？
f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π/3)
-π/6≤x+π/3≤5π/6
所以-1/2≤sin(x+π/3)≤1/2
进而函数值域为[-1,1]
答案是[-1,2]，可是sin5π/6明明等于1/2的…

Answer 1

解从-π/6≤x+π/3≤5π/6开始错了
由-π/6≤x+π/3≤5π/6，
知当x+π/3=-π/6是，sin（x+π/3）有最小值=-1/2
当x+π/3=π/2是，sin（x+π/3）有最大值=1
即由-π/6≤x+π/3≤5π/6
得到-1/2≤sin(x+π/3)≤1
即-1≤2sin(x+π/3)≤2
即函数f(x)=sinx+√3cosx的值域[-1,2]。

追问

请问为什么要让x+π/3=π/2，它不是小于等于5π/6吗？为什么不直接用这个算

追答

你注意
x+π/3能取完所有的从-π/6到5π/6的角，当x+π/3取π/2时，sin（x+π/3）有最大值=1
我承认x+π/3能取到5π/6，但是x+π/3=5π/6时，sin（x+π/3）取得1/2，不是最大值，
求值域必须找最小值和最大值。