Question

已知函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且对任意实数x都有f(x+1)=2f(x)+1,则f(2012）的值是

Answer 1

解：∵函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）．
再由f（x+1）=2f（x）+1 可得 f（1-x）=2f（-x）+1=2f（x）+1，
∴f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数．
故 f（2012）=f（0）．
由已知条件f（x+1）=2f（x）+1 可得
①f(1)=2f(0)+1;②f(0)=2f(1)+1
解得 f（0）=-1
故f(2012)=f(0)=-1

追问

f（0）=-1是如何得出的？

追答

就是解方程呀，解标号为①②的两个二元一次方程组就行了

追问

怎么解啊？

追答

嗯，这很好解得！
因为f(1)=2f(0)+1--方程①，所以将f（1）代入到方程②中：

就有：f(0)=2*[2f(0)+1]+1
所以打开后：f(0)=4f(0)+3
移项得到-3f(0)=3
所以得到f（0）=-1

就是这个样子

Answer 2

Answer 3

令x=0
f(1)=2f(0)+1
令x= - 1
f(0)=2f(-1)+1
f(0)=2f(1)+1=4f(0)+3
f(0)=-1
f(1)= -1
f(x+1)+1=2[f(x)+1]
令g(x)=f(x)+1
g(x+1)=2g(x)
g(2）=2g(1)
g(3)=2^2g(1)
g(4)=2^3g(1)
.......................
g(2012)=2^(2011)g(1)
f(2012)+1=2^(2012)*[f(1)+1]=0
f(2012)=-1