Question

已知y(x)=x+a/x²+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结

已知y(x)=x+a/x²+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论

Answer 1

先根据函数的奇偶性求出a，b，得到解析式，再利用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性．
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解：因为函数f(x)=(x+a)/(x²+bx+1)
是奇函数，且定义域为[-1，1]，
所以
f(0)=a=0
f(−1)=−1/(2−b)=−f(1)=−1/(2+b)
解得
a=0
b=0
所以f(x)=x/(x²+1)，
f(x)在x∈[-1，1]上是增函数，下面证明：
设x1，x2是定义域内的任意两实数，且x1＜x2，
所以f(x1)−f(x2)=x1/(x1²+1)−x2/(x2²+1)=【(x1−x2)(1−x1x2)】/【(x1²+1)(x2²+1)】，
因为-1≤x1＜x2≤1，所以x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，x1²+1＞0，x2²+1＞0，
所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[-1，1]上是增函数．
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祝楼主学习进步o(∩_∩)o
求采纳~~~$_$

追问

1−x1 x1²这两个是什么？

追答

？什么意思

追问

问题帮忙解决一下=_=……

追答

‘什么问题啊？？？

追问

你发的答案……有很多我看不懂的符号…………

追答

可能是平方乱码吧，我改下。。。
解：因为函数f(x)=(x+a)/(x2+bx+1)
是奇函数，且定义域为[-1，1]，
所以
f(0)=a=0
f(−1)=−1/(2−b)=−f(1)=−1/(2+b)
解得
a=0
b=0
所以f(x)=x/(x2+1)，
f(x)在x∈[-1，1]上是增函数，下面证明：
设x1，x2是定义域内的任意两实数，且x1＜x2，
所以f(x1)−f(x2)=x1/(x12+1)−x2/(x22+1)=【(x1−x2)(1−x1x2)】/【(x12+1)(x22+1)】，
因为-1≤x1＜x2≤1，所以x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，
所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[-1，1]上是增函数．
（x12是x1的平方，x22是x2的平方）

追问

问下，为什么f(0)=a=0?

虽然还是没懂……不过还是谢谢你了