Question

一道高等代数证明题

这是中国人民大学1991年的高等代数证明题，不知这里可有高手能帮忙指点指点

Answer 1

利用积分中值定理：　　　　∫　［0qmqux］　e＾（t＆＃178；）　dt　＝　x　＊　e＾（ξ＆＃178；）　，　其中　ξ　介于　0　和　x　之间。＝　x　＊　e＾（　θ　x＆＃178；），　其中　θ　∈［　0，1］当t　＆gt；　0时，　　　令　f（t）　＝　e＾（t＆＃178；）　，　　　f　＆＃39；（t）　＝　2t　e＾（t＆＃178；）　＆gt；“，　f（t）　严格单增，故　上式中的　θ　　是唯一的　　θ　＝　（1＆＃47；x＆＃178；）　＊　ln【∫　［0，x］　e＾（t＆＃178；）　dt　＆＃47；　x】　　lim（x－＆gt；＋∞）　θ　＝　lim（x－＆gt；＋∞）　（1＆＃47；x＆＃178；）　＊　ln【∫　［0，x］　e＾（t＆＃178；）　dt　＆＃47；　x】＝　　lim（x－＆gt；＋∞）　（1＆＃47；x＆＃178；）　＊　【　ln（　∫　［0koswx］　e＾（t＆＃178；）　dt　）　－　ln　x　】＝　　lim（x－＆gt；＋∞）　【e＾（x＆＃178；）　＆＃47；　∫　［0，x］　e＾（t＆＃178；）　dt　　－　　1＆＃47；x　】＆＃47；　（2x）　　　　　　　洛必达法则＝　　lim（x－＆gt；＋∞）　【　x　e＾（x＆＃178；）　－　∫　［0，x］　e＾（t＆＃178；）　dt　】＆＃47；　（　2　x＆＃178；　∫　［0，x］　e＾（t＆＃178；）　dt　）＝　　lim（x－＆gt；＋∞）　【2　x＆＃178；　e＾（x＆＃178；）　】＆＃47；　【2　x＆＃178；　e＾（x＆＃178；）　＋　4　x　∫　［040x］　e＾（t＆＃178；）　dt　】＝　62c。　　　两次洛必达法则＝　1

Answer 2

mark。。。。。。

Answer 3

左端 =
1 1 1 ... 1
0 1+x[1] 1+x[1]² ... 1+x[1]ⁿ
0 1+x[2] 1+x[2]² ... 1+x[2]ⁿ
... ... ... ... ...
0 1+x[n] 1+x[n]² ... 1+x[n]ⁿ
=
1 1 1 ... 1
-1 x[1] x[1]² ... x[1]ⁿ
-1 x[2] x[2]² ... x[2]ⁿ
... ... ... ... ...
-1 x[n] x[n]² ... x[n]ⁿ
=
2 1 1 ... 1
0 x[1] x[1]² ... x[1]ⁿ
0 x[2] x[2]² ... x[2]ⁿ
... ... ... ... ...
0 x[n] x[n]² ... x[n]ⁿ
+
-1 1 1 ... 1
-1 x[1] x[1]² ... x[1]ⁿ
-1 x[2] x[2]² ... x[2]ⁿ
... ... ... ... ...
-1 x[n] x[n]² ... x[n]ⁿ
=
2·
x[1] x[1]² ... x[1]ⁿ
x[2] x[2]² ... x[2]ⁿ
... ... ... ...
x[n] x[n]² ... x[n]ⁿ
-
1 1 1 ... 1
1 x[1] x[1]² ... x[1]ⁿ
1 x[2] x[2]² ... x[2]ⁿ
... ... ... ... ...
1 x[n] x[n]² ... x[n]ⁿ
=
2·x[1]·x[2]·...·x[n]·
1 x[1] ... x[1]ⁿ⁻¹
1 x[2] ... x[2]ⁿ⁻¹
... ... ... ...
1 x[n] ... x[n]ⁿ⁻¹
-
1 1 1 ... 1
1 x[1] x[1]² ... x[1]ⁿ
1 x[2] x[2]² ... x[2]ⁿ
... ... ... ... ...
1 x[n] x[n]² ... x[n]ⁿ
= 2∏{1 ≤ i ≤ n} x[i] · ∏{1 ≤ j < k ≤ n} (x[k]-x[j]) - ∏{1 ≤ i ≤ n} (x[i]-1) · ∏{1 ≤ j < k ≤ n} (x[k]-x[j])
= ∏{1 ≤ j < k ≤ n} (x[k]-x[j]) · (2∏{1 ≤ i ≤ n} x[i] - ∏{1 ≤ i ≤ n} (x[i]-1))
= 右端.
其中倒数第三个等号使用了Vandermonde行列式的乘积展开式.