Question

利用数列极限的定义证明:lim(n→∞）3n+1/4n-1 = 3/4

Answer 1

考虑：
|(3n+1)/(4n-1) - 3/4|
=|4(3n+1)-3(4n-1) / 4(4n-1) |
=|(12n+4-12n+3) / 4(4n-1) |
=|7 / 4(4n-1) |
=(7/4) * |1/(4n-1)|
<2 * |1/(4n-1)|
限制：n>1，即有：3n<4n-1，进而：1/(3n)>1/(4n-1)
那么有：
|(3n+1)/(4n-1) - 3/4|
<2 * |1/(3n)|
<1/n （因为n>0，绝对值号可去）
于是，
对于任意的ε>0，存在N=max{1,1/ε}
当n>N，都有|(3n+1)/(4n-1) - 3/4|<1/n<ε
根据定义，lim (3n+1)/(4n-1) = 3/4

有不懂欢迎追问

Answer 2

(3n+1)/(4n-1)
=(3n-3/4+3/4+1)/(4n-1)
=3/4+7/(16n-4)
当n→∞ 7/(16n-4)＝0
3/4+7/(16n-4)=3/4