Question

已知1/3≤a≤1 若函数f(x)=ax²-2x+1在区间[1，3] 上的最大值为Ma 最小值为Na 令g(a)=M(a)-N(a) 1.求g

已知1/3≤a≤1 若函数f(x)=ax²-2x+1在区间[1，3] 上的最大值为Ma 最小值为Na 令g(a)=M(a)-N(a)
1.求g(a)的函数表达式
2.判断函数g(a)在区间[1/3，1]上的单调性 并求出g(a)的最小值

Answer 1

首先求函数抛物线的对称轴： x=2/2a=1/a，并且知道抛物线开口向上
由1/3≤a≤1,知道1≤1/a≤3，也就是说，抛物线最低点在所求区间上

所以N(a)=f(1/a)=1- 1/a,对于开口向上的抛物线，在所求区间的最大值必然在
区间端点上。
f(1)=a-1,f(3)=9a-5,f(3)-f(1)=8a-4
讨论如下：
8a-4≥0的时候，即1/2≤a≤1时，f(3)≥f(1),M（a）=f(3)
此时，g(a)=9a+ 1/a -6
而1/3 ≤a≤1/2的时候同上知道，M（a）=f(1)，此时
g(a)= a + 1/a -2

至于单调性，可以设同一个区间内任意的x1＜x2
1/3 ≤a≤1/2的时候g(x1)-g(x2)=(x1-x2)(1 - 1/x1x2)＞0，该区间内单调递减
同上1/2≤a≤1的时候g(x1)-g(x2)=(x1-x2)(9 - 1/x1x2)＜0，该区间内单调递增
所以a=1/2的时候g(a)有最小值，为1/2