Question

【急】初三相似数学题求助，谢谢

如图，已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,连接DE,作∠DEF=∠C，射线EF交线段AD于F
求证：△DBE∽△ECF
当F 是线段AC中点时，求线段BE的长
连接DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长
主要是第三问，请不要复制网上的，那些都是错的，貌似应该有很多答案，第二小问就有2、3两个答案了，带入三中大概会分很多类吧。。。我猜
求数学高手们帮帮忙吧，只要第三问，不过请详细一点。谢谢
A
F
D
B C
原谅这幅残疾的图吧，B和C中间还有个E

Answer 1

(1)证明：∵AB=AC.

∴∠B=∠C;

∵∠DEF=∠C.

∴∠1=180°-∠DEF-∠CEF=180°-∠C-∠CEF=∠2.

故:⊿DBE∽⊿ECF.

(2)解:∵⊿DBE∽⊿ECF(已证).

∴BD/CE=BE/CF;

设BE=X,则CE=5-X;又BD=2,CF=AC/2=3.

∴2/(5-X)=X/3,  X=2或3.

故BE为2或3.

(3)解:∵∠DEF=∠C=∠B.

∴若⊿DEF与⊿DBE相似,则∠EDF=∠1或∠EFD=∠1.

①当∠EDF=∠1时(见中图),DF∥BC,则∠ADF=∠B,∠AFD=∠C.

又∠B=∠C,则∠ADF=∠AFD,得AF=AD=4,FC=2;

②当∠EFD=∠1时(见右图),又∠2=∠1(已证),则∠EFD=∠2,点E到DF与CF的距离相等;

∵∠B=∠EDF;∠1=∠EFD.

∴∠BDE=∠EDF(三角形内角和定理),则点E到DF与BD的距离相等.

∴点E到CF与BD的距离相等.

故点E在∠BAC的平分线上;又AB=AC,则BE=CE=5/2.(等腰三角形"三线合一")

∵BD/CE=BE/CF(已证),即2/(5/2)=(5/2)/CF.

∴CF=25/8.

综上所述,若⊿DEF与⊿DBE相似,则FC的长为2或25/8.

 

 

追问

太感谢了！不过请问第二问有两个答案对第三问有影响吗？如果要用到BE的长，那么是不是要有4个答案？

追答

答:第(2)问的答案在第(3)问中是不能使用的,因为第(2)问中有条件"当F为AC中点",即相当于第(2)问中除了原题中的条件外,又加了新的条件.更何况你也知道,我们通过计算FC的长发现,F并非AC中点;而第(1)问的结论在第(3)问中是可以使用的,因为第(1)问没有添加新的条件.
你明白了么?但愿我的回答能帮到你.

Answer 2

先证明△BDE∽△CEF
∵∠B+∠DEB+∠BDE=180°
∠DEB+∠DEB+∠FEC=180°
又∵∠DEF=∠B
∴∠BDE=∠FEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴△BDE∽△CEF

若△DFE∽△DEB,
前面已经证得△DEB∽△EFC
∴∠BDE=∠EDF,∠DFE=∠CFE
∴点E是DE,EF两角平分线交点
连接AE，则AE是∠BAC的平分线
又∵AB=AC
∴AE又是底边BC中点
∴BE=CE=5/2
△DEB∽△EFC
∴BD:EC=BE:CF
即2：（5/2）=（5/2）：FC
∴FC=25/8

追问

谢谢你的帮助。请问只能有一种情况吗？还是别的要舍去

Answer 3

解：
(1)如果∠DFE=∠DEB，
则由∠BEF=∠C+∠EFC可得∠DEB=∠EFC
而∠B=∠C
∴△DEF∽△DBE∽△ECF
由△DEF∽△ECF得EC:DE=EF:FD
由△DEF∽△BDE得EF:FD=BE:DE
∴EC:DE=BE:DE
故EC=BE=5/2
于是 由△DEB∽△EFC得
FC:BE=EC:DB
或FC:5/2=5/2:2
解得 FC=25/8
(2)如果∠FDE=∠DEB
则 DF//BC
∵ ∠B=∠C
∴ DFCB是等腰梯形
所以 FC=DB=2

追问

谢谢你的帮助。请问第二小问的答案为BE=2 BE=3，那么带进去求第三小问的时候会再多两个答案吗？还是第三小问用不到BE的长

追答

BE只有一个答案吧

追问

不过老师讲的时候是有两个答案，2和3，第三小题没听懂。。