Question

已知异面直线a,b所成角为60°，P为空间一定点，则过点P与a,b所成的角都是60°的直线有几条？

类似题目有什么拓展？

Answer 1

过定点P有且只有一条直线c平行与a,再过定点p有且只有一条直线平行d与b,
因为c与d相交于定点p,所以c与d在同一个平面M上，
因为a平行c,a与b成60度角，c在平面M上，
所以a平行于平面M或在平面M上，且c与b成60度角，
因为d平行与b，c与b成60度角，d在平面M上，
所以b平行与平面M或在平面M上，且c与d成60度角，
在平面M上过点p有且只有一条直线e平分c与d的120度的夹角，则直线e与c以及e与d所成的角度都为60度，
因为c平行于a，所以e与a成60度角，同理e与b成60度角。
易知，在平面M上有且尽有这一条直线e与c以及d成60度角。
另设有一条直线f过p点且同时与a,b成60度角，则f不在平面M上且与M相交与点p,f与c以及d都成60度角，
在c,d,f同一方向各取一点C,D,F,则使线段pC=pD=PF，
因为f与c,d都成60度角，且c与d成60度角，
所以线段pC=PD=pF=CD=CF=DF,所以四方体pCDF是一个正4面体，
由于点p和c,d都确定，满足这样条件的f有且只有两条，两个方向，一个方向一条，由上知，答案是有三天直线同时与a,b成60度角，为e,f,g