Question

求线性方程组的通解

刘老师您好：
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题目是这样的：已知三阶矩阵A的秩为2，若α1，α2，α3为非齐次线性方程组Ax=b的3个解，且α1=（1,2,3）^T，α2+α3=（3,5,7）^T，则该线性方程组的通解是_______

书上答案是这样的：（1,2,3）^T+c(1,1,1)^T,由题设知未知量的个数为3，系数矩阵的秩为2，所以导出组的基础解系中只含一个解向量。所以导出组的基础解系中只含一个解向量，构成导出组的一个基础解系。

我对这个答案及其解释除了「秩为2」能看懂外，其它都一头雾水。譬如「未知量的个数为3」、「所以导出组的基础解系中只含一个解向量」、「所以导出组的基础解系中只含一个解向量」，这些结论都不知怎么得出来的。

谢谢！
纠错：答案的解释是这样的：

书上答案是这样的：（1,2,3）^T+c(1,1,1)^T,由题设知未知量的个数为3，系数矩阵的秩为2，所以导出组的基础解系中只含一个解向量。（α2+α3）-2α1为导出组的非零解，构成导出组的一个基础解系。

我对这个答案及其解释除了「秩为2」能看懂外，其它都一头雾水。譬如「未知量的个数为3」、「所以导出组的基础解系中只含一个解向量」、「（α2+α3）-2α1为导出组的非零解」，这些结论都不知怎么得出来的。

Answer 1

若 A 是m乘n矩阵, 则 Ax=b 有m个方程, n个未知量

齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n - r(A) (这里是 3-2 = 1) 个解向量, 这是定理, 应该知道!

若 a1,...,as 是 Ax=b 的解
则 k1a1+...+ksas 是 Ax=b 的解的充要条件是 k1+...+ks = 1
k1a1+...+ksas 是 Ax=0 的解的充要条件是 k1+...+ks = 0
这是基本结论

追问

所以k1=-2、k2=1、k3=1，因此-2+1+1=0。那如果取k1=2、k2=1、k3=1，2-（1+1）=0 是不是也可以？但这样的话就有两个答案了。

另外α1=（1,2,3）^T应该是特解对吗？特解是随便取的吗只要是非其次线性方程组的解？还有我不明白为什么非其次线性方程组的几个解这样加加（α2+α3）-2α1就变成了导出组的解了呢？不记得课本上有这种转变为导出组的解的方法。

追答

是 2,-1,-1, 这样也是AX=0 的解
当有无穷多解时, 特解与基础解系都不是唯一的!

这就是我上面给出的第2个结论

追问

当Ax=b有无穷多解时，特解不是惟一的，那么当有惟一解时，特解的情况又是怎样的？怎样取这个特解？

追答

解唯一 r(A)=r(A,b)=n
将 (A,b) 化为行最简形就得到了