Question

已知函数f( x) =(ax2+1)/(bx+c)是奇函数,f(1)=2,f(2)=5/2

已知函数f( x) =(ax2+1)/(bx+c)是奇函数,f(1)=2,f(2)=5/2;
(1)求f（x）的解析式；
（2）讨论当x＞1时，f（x）的单调性并证明，画出在整个定义域上的图象。
ps：最好把图像画出来

Answer 1

（1）

f(x)=(ax²+1)/(bx+c)
分子是偶函数，要使得f(x)是奇函数，则分母要是奇函数，所以，c=0；
则：f(x)=(ax²+1)/bx
f(1)=2，f(2)=5/2
(a+1)/b=2
(4a+1)/2b=5/2
解得：a=1，b=1
∴a=1，b=1，c=0

f(x)=(x²+1)/x

    =x+1/x

（2）

f(x)=x+1/x这是对勾函数

当x＞1，f(x)是增函数

证明

设1<x1<x2

f(x2)-f(x1)

x2+1/x2-x1-1/x1

=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)

=(x2-x1)[1-1/(x1x2)]

∵1<x1<x2

x2>x1

1/x1x2<0

1-1/(x1x2)>0

∴f(x2)-f(x1)>0

即f(x2)>f(x1)

∴f(x)是增函数

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