Question

函数f（x）=根号[（1-a^2）x^2+3（1-a）x+6] （1）若f（x）的定义域为R．求实数a的取值范围.

函数f（x）=根号[（1-a^2）x^2+3（1-a）x+6]
（1）若f（x）的定义域为R．求实数a的取值范围.
（1） 解：如定义域为R， 则（1-a²）x²+3（1-a）x+6 ≥ 0在R范围内恒成立
首先a = 1时， （1-a²）x²+3（1-a）x+6 = 6， 满足要求
a = -1时， （1-a²）x²+3（1-a）x+6 = 6x + 6， 不满足要求
a ≠ 1时： （1-a²）x²+3（1-a）x+6必须为开口向上而且与x轴无交点的抛物线，即：
1-a² ＞ 0且△ = 9（1-a）² - 4*6（1-a²） = 3（11a² - 6a - 5） = 3（11a+5）（a-1） ＜ 0
由1-a² ＞ 0得到 -1 ＜ a ＜ 1
由△ = 3（11a+5）（a-1） ＜ 0得到 -5/11 ＜ a ＜ 1
结合起来： -5/11 ＜ a ＜ 1
再考虑到a = 1， 实数a的取值范围是 -5/11 ＜ a ≤ 1

1-a² ＞ 0且△ = 9（1-a）² - 4*6（1-a²） = 3（11a² - 6a - 5） = 3（11a+5）（a-1） ＜ 0
这一步不理解，为什么把它当作二元一次方程了，△还要＜0？求解释，还是我理解错了额。。

Answer 1

• 1-a^2>0  表示抛物线开口向上

△<0表示一元二次方程9（1-a）² - 4*6（1-a²）=0无解，即与y=0没有相交，因此抛物线上的点的值都大于0

Answer 2

开平方根的数必为正数，所以（1-a ）^2x^2+3(1-a)x+6>0 x∈R恒成立，即关于上述方程有△恒小于0，得出△ = 9（1-a）² - 4*6（1-a²） = 3（11a² - 6a - 5） = 3（11a+5）（a-1） ＜ 0
由1-a² ＞ 0得到 -1 ＜ a ＜ 1
由△ = 3（11a+5）（a-1） ＜ 0得到 -5/11 ＜ a ＜ 1，讨论部分不在论述

追问

△＜0不是方程无解么。。为什么没有解x∈R。。