Question

二重积分 X型区域和Y行区域如何选择？

Answer 1

看有没有不可导点存在，即尖点

如下列图像

由y =± x和y = 1组成，向左转|向右转。

X型，就是外层积分是对x积分，即图中红色箭头部分

在区间x=- 1到x=1中，你会看到-1≤x≤0和0≤x≤1两个区间对应的函数曲线是不同的。所以这个考虑X型的二重积分要分开为"两个"部分计算。但Y型，就是外层对y的积分，图中蓝色箭头部分，同样在区间x=-1到x=1中，对应y的区间0≤y≤1。可以看到只要一个箭头就同时穿越两个曲线，所以只用"一个"积分式就能计算出来，所以Y型最适合。

再看一个例子：

由y = 1/x、y = x、y = 2组成，向左转|向右转。

同样道理，可见X型时，曲线在(1,1)这点要切换曲线函数，所以X型时要"两个"积分计算。而Y型只需要一个箭头就能同时穿越两个曲线，所以Y型时只需要"一个"积分就能算出来。

二重积分其实找到规律非常容易

第一、请搞清楚你是先积x还是先积y，下面我以先积x，后积y为例（当然反过来一样）

第二、将二重积分写成∫∫dxdy=∫dy∫dx的形式。至于y的积分区域可以先确定了，记住，后积的y的积分上下限一定是常数，而决不能出现变量。非常简单：将平面区域向y轴作垂线，整个平面区域的上下限就是y的上下限。

第三、确定x的积分上下限稍微麻烦一些，但也不难。假如x的上下限都是常数，那么整个区域一定是矩形，除此之外，上下限一定要至少出现一次自变量y。那么具体怎么确定呢？在区域内任意点做一条平行于x轴的直线，直线会和左边界和右边界有两个交点。把左边界的方程写出来，解出y，作为下限。然后同样解出上限。第四、计算，先积x，积出来的函数，将x换成上限减下限（一般是关于y的方程），然后再积分这个关于y的函数。

扩展资料：

积分的线性性质

性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

(k为常数）

性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则

性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，

则

性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。[2] 

二重积分中值定理

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

参考资料：二重积分_百度百科

Answer 2

二重积分其实找到规律非常容易在x轴上任取一点x，过该点作一条垂直于x轴的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为X型区域。类似的，在y轴上任取一点y，过该点作一条垂直于y轴的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为Y型区域。

二重积分X型区域

设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线  围成。可以表示  的区域称为X型区域，如图。X型区域：

特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

如图，对任意取定的x0∈[a，b]，过点（x0，0，0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间  为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形，由于x0的任意性，这一截面的面积为  ，其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到 [2]  ：

二重积分Y型区域

积分区域  称为Y型区域。

特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

称D为Y型区域，此时可采用先对x，后对y积分的积分次序，将二重定积分化为累次积分[2]  ：

扩展资料：

积分的线性性质

1、性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

2、性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，  (k为常数） 比较性

3、性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则  估值性

4、性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则 

5、性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重积分中值定理

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得 

参考资料：百度百科-二重积分

Answer 3

二重积分其实找到规律非常容易第一、请搞清楚你是先积x还是先积y，下面我以先积x，后积y为例（当然反过来一样）第二、将二重积分写成∫∫dxdy=∫dy∫dx的形式。至于y的积分区域可以先确定了，记住，后积的y的积分上下限一定是常数，而决不能出现变量。非常简单：将平面区域向y轴作垂线，整个平面区域的上下限就是y的上下限。第三、确定x的积分上下限稍微麻烦一些，但也不难。假如x的上下限都是常数，那么整个区域一定是矩形，除此之外，上下限一定要至少出现一次自变量y。那么具体怎么确定呢？在区域内任意点做一条平行于x轴的直线，直线会和左边界和右边界有两个交点。把左边界的方程写出来，解出y，作为下限。然后同样解出上限。第四、计算，先积x，积出来的函数，将x换成上限减下限（一般是关于y的方程），然后再积分这个关于y的函数。 欢迎继续询问。

Answer 4

应该是做一天垂于x轴的直线吧