Question

二次函数的最值问题...

2.已知二次函数f(x),当x=1/2时，有最大值25，且f(x)=0的两根立方之和等于19，求f(x)的解析式 3. 比较急，题目挺多的，因为二次函数的最值是初学，所以最好的解题过程可以让我明白...谢谢了

Answer 1

1, 你知道根与系数的关系吗？在一个方程ax^2+bx=c=0也就是假设它的根是m,n有m+n=-b/a,m*n=c/a再看本题，α+β=-（-（k-2））/1=k-2 α*β=5/1=5,问题是α^2+β^2=α^2+2αβ+β^2-2αβ=(α+β)^2-2αβ=(k-2 )^2-2*5,看这个关于k的二次函数，他是开口向上的，所以他有最小值，当k=2时是最小值是-102，先看两根立方之和m^3+n^3=(n+m)(m^2+n^2-nm)=(m+n)(m^2+n^2+2mn-2mn-mn)=(m+n)[(m+n)^2-3nm]=19返回来看题，你知道二次函数总能表示成这样的形式，f(x)= a(x+b)^2+c,题意说他有最大值说明他是开口向下的，这时a的取值只能是负的了，那么对于f(x)的最值就是c(你要知道这样的形式下，c就是最值，或最大值，或最小值，本题说的是最大值)，即c=25,此时a(x+b)^2=0当x=1/2时，要想这个式子为0，那么b只能取-1/2，即b=-1/2代入我们的f(x)=a(x+b)^2+c=a(x-1/2)^2+25展开f(x)=a(x+b)^2+c=a(x-1/2)^2+25=ax^2-ax+a*1/4+25上一题我们说了根与系数的关系，m+n=-b/a=1,m*n=c/a=(25+a/4)/a再看条件当f(x)=0的两根立方之和等于19，我们在这道题的开头就写了这样的式子m^3+n^3=(n+m)(m^2+n^2-nm)=19把根与系数的关系代入后得到一个关于a的一个方程 =(m+n)[(m+n)^2-3nm]=1*[1^2-3*(25+a/4)/a]=1-3*(25+a/4)/a=19 则a=-2所以f(x)=-2(x-1/2)^2+25=-2x^2+2x+49/23, 首先可以肯定的是他是有根的，所以我们先看他根的判别式=b^2-4ac>=0 这是我们学的公式！ (-4a)^2-4*1*（2a+6）=16a^2-8a-24>=0解这个不等式得出结果是a>=3/2或a<=-1 其次我们再看他的条件说他的值都是非负数，那么他的两根之和肯定是非负数，两根之积也肯定是非负数 m+n=(-4a)/1>=0 得出a<=0 ; m*n=(2a+6)/1=2a+6>=0 得出a>=-3 根据以上四个a的不等式a>=3/2或a<=-1，a<=0 ，a>=-3 我们可以知道a的取值范围是-3<=a<=-1再看f(a)=2-a/a+3/ 由于-3<=a<=-1 3+（-3）<=a+3<=-1+3 0<=a+3<2 f(a)可以去绝对值的符号了就是f(a)=2-a/a+3/ =2-a(a+3)=-a^2-3a+2用配方法变一下形就是 =-（a^2+3a）+2=-(a^2+3a+(3/2)^2-(3/2)^2)+2 =-(a+3/2)^2+(3/2)^2+2=-(a+3/2)^2+17/4所以f(a)的开口是向下的，他有最大值，当a=-3/2时有最大值是17/4能看明白吗？说的有些烦琐就是怕你不明白，希望你对二次函数能有更深刻的理解，加油！