Question

第21题，大家帮帮忙吧，我数学不好，力求搞明白原因，所以求过程

Answer 1

过M作OQ、OP的垂线，MB1=MA1，角BMB1=角AMA1，三角形BMB1和三角形AMA1全等，所以AM=BM

由图易知OB+OA=OP=4（定值），AB平方=OB平方+OA平方=（OB+OA）平方-2OA*OB=16--2OA*OB

当OB（或OA）=0时，AB平方最小，即AB=4也最小，OB+OA+AB=8也最小。

但因为OB=0时，O和B重合、A与P重合，OAB不是三角形，所以三角形AOB的周长没有最小值。

追问

非常感谢O(∩_∩)O

追答

过M作OQ、OP的垂线，MB1=MA1，∠BMB1=∠AMA1，Rt△BMB1≌Rt△AMA1，AM=BM

 

令OA=a,OB=b,AB=c

a+b=OP=4（定值），

c^2=a^2+b^2>=2ab

当a=b=2时,取等号,即c^2>=8,c>=2√2,c最小为2√2

△AOB的周长存在最小值=a+b+c=4+2√2

即图中△A1OB1

c^2=a^2+b^2=（a+b）^2-2ab=16-2ab

当b（或a）=0时，c^2最大，即c=4最大，OB+OA+AB=a+b+c=8也最大。

但因为b=OB=0时，O和B重合、A与P重合，OAB不是三角形，所以△AOB的周长没有最大值。

刚才把最大、最小搞错了。

Answer 2

楼上的有点问题啊！
应该是当OA*OB最大时， AB的平方最小。
不应该是OA*OB最小时，AB的平方最小
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接着往下写是 OA*OB=OA*(4-OA)=4-(2-OA)的平方
所以当OA=2时，OA*OB取最小值，即三角形AOB周长最小
最小值等于4+2*根号2

Answer 3

解：解题思路：第一问所需要证的是两边相等，已知△MAB是直角三角形，故可证其为等腰三角形或证其中一锐角为45º，但是题中没有可用的角度值，这种思路舍弃。那么第二种思路就是证三角形全等，这样就需要把MA和MB这两条边分别构造到两个三角形中。
1、三角尺以M为中心旋转时A在OP上运动，由直线MA和OQ平行与否入手（这只是一种说法，还可以用MA和OP是否垂直说起）。当MA∥OQ时，由题中条件M是等腰Rt△OPQ斜边中点等易知，此时四边形OAMB是正方形，故此时MA=MB。
当MA与OQ不平行时，过M点分别作OP和OQ的垂线，垂足分别为C、D，因为MC=MD=2（即上述情况中的A点和该处C点重合），且∠CMA+∠DMA=90º=∠DMB+∠DMA，可知∠CMA=∠DMB，那么在Rt△CMA和Rt△DMB中，由一锐角和一组直角边对应相等可得再者全等。故有MA=MB。
综上，结论得证。
2、由第一问中全等可得AC=BD，△OAB中，周长L=OA+OB+AB，其中将OA分解为OC-AC，OB分解为OD+DB，故OA+OB=OB+OD=4（因OCMD是正方形且边长为2）。那么若求△OAB的最小周长，只需求AB的最小长度即可。另因△MAB是等腰直角三角形，故AB=√2MA（根号打不出来），易知当三角尺沿M点旋转时，MA最小时即为MA∥OQ（或者说MA⊥OP时），此时MA=2，那么最终可知所求周长L=4+2√2。