对于数列{xn}，若x2n的极限值为a，x2n+1的极限值为a，证明：xn的极限值为a。
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当n趋于无穷时：
lim x(2n+1)=a
根据定义，
任意ε>0，存在N1>0，使当n>N1，皆有|x(2n+1)-a|<ε
lim x(2n)=a
根据定义，
对上述ε>0，存在N2>0，使当n>N2，皆有|x(2n)-a|<ε
根据上两定义，有：
对上述ε>0，取N=max{2*N1+1，2*N2}，则当n>N，必有|xn-a|<ε
那么，根据定义，
lim xn=a
lim x(2n+1)=a
根据定义，
任意ε>0，存在N1>0，使当n>N1，皆有|x(2n+1)-a|<ε
lim x(2n)=a
根据定义，
对上述ε>0，存在N2>0，使当n>N2，皆有|x(2n)-a|<ε
根据上两定义，有：
对上述ε>0，取N=max{2*N1+1，2*N2}，则当n>N，必有|xn-a|<ε
那么，根据定义，
lim xn=a
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