Question

设函数f(x)=(根号下x^2+1)-ax,档a=2时,证明函数在(0,+无穷)为增函数

请用定义证明

Answer 1

证明:设x1>x2≥0,则
f(x1)-f(x2)=√(x1^2+1)-2x1-√(x^2+1)+2x2
=(x1^2-x2^2)/[√(x1^12+1)+√(x2^2+1)]-2(x1-x2)
=(x1-x2){x1+x2-2[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
又x1>x2≥0，即
x1-x2>0,x1<2√(x1^2+1),x2<2√(x2^2+1)
所以f(x1)-f(x2)<0
即当a=2时,f（x）在[0,＋∞)上是减函数。
？？？

追问

=(x1^2-x2^2)/[√(x1^12+1)+√(x2^2+1)]-2(x1-x2)
这一步怎么得到的？为什么突然就把原式变为分母呢？

追答

共轭法……
把二次根式变成a/b的形式