Question

对面积的曲面积分疑问

假设f(x,y,z)=1,积分曲面是长方体（长方体有界）的最上面那个平面，正常做法肯定是投影到xOy平面做，我想问的是如果投影到yOz平面就是一条线段，面积为0，则积出来就是0！但是投影到xOy平面做，答案可能不是0，请问错在哪里？求解
二重积分能不能在一条直线上积分？在直线上积分一个几何意义是体积为0，另外一个物理意义是一条直线的质量，直线质量肯定不为0的，所以我想问二重积分在一条直线上积分是否为0？

Answer 1

对面积的曲面积分在计算时还有一项dS需要计算，
dS=√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdy
这是投影到XOY面的计算结果，里面有两个偏导数需要计算，因此在计算之前需要将曲面方程写为z=z(x,y)的形式，然后才能求偏导计算。

现在回到你的问题，若是对长方形的上面那个面积分，这个面的方程为：z=常数，也就是说，这个曲面方程只能写成z=z(x,y)的形式，因此，只能往XOY面投影。若想往YOZ面投影，需要将曲面写为x=x(y,z)的形式，这个平面无法写出这个形式。

追问

这个平面虽然无法写出这个形式，但是因为投影到yOz平面就是一条线段，面积为0，则积出来应该就是0啊

追答

写不出这个形式就无法套公式
dS=√[1+(∂x/∂y)²+(∂x/∂z)²]dydz

这是公式中要用到的，但是没法计算∂x/∂y和∂x/∂z

追问

你好，那能否回答下第二问二重积分能不能在一条直线上积分？在直线上积分一个几何意义是体积为0，另外一个物理意义是一条直线的质量，直线质量肯定不为0的，所以我想问二重积分在一条直线上积分是否为0？

追答

直线上的二重积分为0，这个没错。
但本题如果往YOZ面投影，由于不能套公式，所以化不成YOZ面的二重积分。

追问

能否看下私信，我还有几个疑问想问下。。。

追答

欢迎讨论，请采纳。

Answer 2

dxdy=cosαds;cosα为xoy面与曲面的夹角余弦
曲面z=z(x,y)曲面法向(-Zx',-Zy',1)
cosα=(0,0,1)·(-Zx',-Zy',1)/√(Zx'²+Zy'²+1)=1/√(Zx'²+Zy'²+1)
ds=√(Zx'²+Zy'²+1)dxdy