Question

已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF垂直BD交BC于F

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点做EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG,CG1.求证：EG=CG;
2.将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG，问1中的结论是否仍然成立？请说明理由。3.将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应线段，问1中结论是否成立，EG是否垂直于CG？请说明理由。

我只要第三问的证明，其他两问我都会。只要第三问 过程。。。

Answer 1

　　

　　由于对楼主的题目感兴趣，故对本题作些探讨，请理解。
结论：EG=CG,且EG⊥CG.

　　证明：1.因为∠DCF=90°   DG=GF
∴CG=DG=GF
因为∠DEF=90   DG=GF
∴EG=DG=GF
∴EG=CG
显然∠1＝∠2,∠3＝∠4
因为∠EGC=∠EGF+∠CGF=∠1+∠2+∠3+∠4
∴∠EGC=2(∠1+∠3)＝2∠BDC=2*45°=90°
即EG⊥CG

　　2.连GA，
因为DA=DC,∠GDC=∠GDA=45°,DG=DG
∴△GDA≅△GDC(SAS)
∴GA=GC   ∠DCG=∠DAG
作GH⊥AB于H,  因为EF⊥AB,AD⊥AB
∴EF∥HG∥AD
因为DG=GF
∴AH=HE  则GH垂直平分AE
∴GA=GE   ∴∠GAH=∠GEH
∴EG=CG
∠GAH+∠DAG=∠GEH+∠DAG=90°=∠GCB+∠DCG
∴∠GEH=∠GCB
∴E、B、C、G四点共圆　
∴∠EGC+∠EBC=180°
∴∠EGC=180°-90°=90°
即EG⊥CG

　　3(1).延长EG到M使GE=GM,连CM,CE,DM,并延长MD交BE延长线于H,
因为GD=GF,  ∠DGM=∠FGE, 
∴△DGM≅△FGE(SAS)
∴DM=FE    ∠DMG=∠FEG
∴DM∥FE
又FE=BE    ∴DM=BE
因为FE⊥BE,
∴MD⊥BE即MH⊥BH
又BC⊥DC
∴∠DHB+∠DCB=180°
四边形DCBH是圆内接四边形
∴∠MDC=∠EBC
又DC=BC
∴△MDC≅△EBC
∴∠DCM=∠BCE　　CE=CM
∴∠DCM+∠DCE=∠BCE+∠DCE=90°
即∠ECM是直角，∴△ECM是等腰直角三角形
又GE=GM ,  ∴CG⊥EG   CG=EG(等腰三角形三线合一性质)

　　3(2).
EG=CG,且EG垂直于CG.
证明: 延长EG到M,使GM=GE,连接DM, CM, CE,
并延长MD交EB延长线于H; 延长DC交EB延长线于K,
GF=GD, GE=GM, ∠FGE=∠DGM, 则:⊿FGE≌⊿DGM(SAS).
因为DM=FE=BE;  ∠EFG=∠MDG.
∴DM∥EF; 又BE⊥EF.
∴DM⊥BE; 则MH⊥EH, 又CD⊥CB.
∴∠HDK=∠CBK(同为∠BKC的余角)
则∠CDM=∠CBE.(等角的补角相等)
因为DM=BE, CD=CB, ∠CDM=∠CBE.(已证)
∴△CDM≌⊿CBE(SAS), CM=CE; ∠DCM=∠BCE.
∴∠DCM+∠DCE=∠BCE+∠DCE=90°
即∴∠ECM=∠BCD=90度, 即△ECM为等腰直角三角形.
又GM=GE,
故: CG=EG; CG⊥EG.(等腰三角形三线合一性质)

　　4.当G、F、E在同一直线上时。
连EC、FC,
因为∠DEB=∠DCB=90°故∠DEB+∠DCB=180°
∴四边形BCDE是圆内接四边形
∴∠DEC=∠DBC=45°
由已知可得△BEF是以BF为底的等腰直角三角形，因此
EC是垂直平分BF，
∴CB=CF   又CB=CD
∴CF=CD
又DG=GF　　　　　
∴CG⊥DF，即EG⊥CG
∴∠GCE=90°-∠DEC=90°-45°=45°=∠DEC＝∠GEC
∴GE=GF

 

Answer 2

(3)EG=CG,且EG垂直于CG.

证明:延长EG到M,使GM=GE,连接DM,CM.

GF=GD,GE=GM,∠FGE=∠DGM,则:⊿FGE≌⊿DGM(SAS).

∴DM=FE=BE;∠EFG=∠MDG.

∴DM∥EF;又BE⊥EF.

∴DM⊥BE;又CD⊥CB.

则∠CDM=∠CBE.

【注:若上面一步没看明白,可以延长MD交直线EB于H,易知∠DHB=∠DCB=90度,得∠CBE+∠CDH=180度;又∠CDM+∠CDH=180度.故∠CDM=∠CBE.】

∵DM=BE,CD=CB,∠CDM=∠CBE.(已证)

∴⊿CDM≌⊿CBE(SAS),CM=CE;∠DCM=∠BCE.

∴∠ECM=∠BCD=90度,即⊿ECM为等腰直角三角形.

又GM=GE,故:CG=EM/2=EG;CG⊥EG.(等腰三角形"三线合一")

Answer 3

证明:由已知得,三角形DEF和三角形DCF都是直角三角形,且两直角三角形共有一条斜边DF,根据直角三角形性质:斜边上的中线长度是斜边长度的一半,又因为G是斜边DF的中点,所以EG=CG.
以上文字可简化为:EG=1/2DF,CG=1/2DF,所以EG=CG.
证明完毕

Answer 4

三角形EDF中，
因为∠E为直角，G为DF中点，所以EG=DG=FG。所以∠GEF=∠GFE。
三角形CDF中，
因为∠C为直角，G为DF中点，所以CG=DG=FG。所以∠GFC=∠GCF。
三角形BEF中，
因为∠E为直角，∠EBF=45°，所以∠EFB=45°。
因为∠EFB+∠GFE+∠GFC=180°，
所以∠GFE+∠GFC=135°，即(∠GEF+∠GFE)+(∠GFC+∠GCF)=∠GEF+(∠GFE+∠GFC)+∠GCF=∠GEF+∠EFC+∠GCF=270°。
因为四边形EFCG内角和为360°，所以∠EGC=90°，所以EG垂直CG。