Question

如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H、分别是AB、BC、CD、DA上的点，且满足AE：EB=AH:HD=1:2,CF:FB=C

如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H、分别是AB、BC、CD、DA上的点，且满足AE：EB=AH:HD=1:2,CF:FB=CG:GD=2.
（1）求证：四边形EFGH是梯形；
（2)ruo AB=a，求梯形EFGH的中位线的长

Answer 1

∵E,F,G,H是中点
∴EH=0.5BD=4，EF=0.5AC=3
∵EFGH是平行四边形
∴由余弦定理得
FH²=EH²﹢EF²‐2EF*EH*Cos∠HEF
EG²=EH²﹢EF²‐2EH*EFCos∠EFG
∵∠HEF=180-∠EFG
∴Cos∠EFG﹢Cos∠HEF=0
∴FH²﹢EG²=2EH²﹢2EF²‐2EF*EH*(Cos∠EFG﹢Cos∠HEF)=2EF²﹢2EH=²=50