Question

a>b>c，且有a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=1

已知实数a>b>c，且有a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=1。求证：1小于a+b小于4/3

Answer 1

证明：由a+b+c=1得：a+b=1-c，两边同时平方，得：
a²+b²+2ab=1-2c+c²
1-c²+2ab=1-2c+c²
2ab=2c²-2c
因a＞b，故(a-b)²＞0，展开得：2ab＜a²+b²=1-c²，则有：
2c²-2c＜1-c²
3c²-2c-1＜0
(3c+1)(c-1)＜0
解得：-1/3＜c＜1，
另外，由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca可得：
1=1+2ab+2bc+2ca
即：ab+bc+ca=0，
可以看出，若a、b、c全为正或者全为负，那么上式都将大于0，所以a、b、c中有负数，因c最小，所以c必定是负数，即c<0。
因此，-1/3＜c＜0，
则：
1/3＞-c＞0
1+1/3＞1-c＞1+0
4/3＞1-c＞1
4/3＞a+b＞1
即：
1＜a+b＜4/3