Question

在x0的邻域内一阶可导,能否推出一阶导数在x0处连续？

如题。
注意,我说的是一阶导数是否连续,而不是函数是否连续,谢谢。

Answer 1

一阶可导必连续，但是连续则不一定一阶可导（如绝对值函数y=|x|在x=0处）。一阶可导是函数连续的充分非必要条件。一阶可导和一阶导数的连续没有必然的联系，一阶可导只能说明该函数在x0邻域内处处左右导数存在且相等。不能说明一阶导数在x0处连续。如一阶导数可以在x0处存在一个第一类间断点。一阶导数在x0处连续的充分条件是二阶导数在x0邻域内可导。

Answer 2

不一定连续。
例如：
x 不=0 时， f(x)=x^2 sin(1/x),
f(0)=0
x0=0

一阶导数在x0=0处不连续