Question

三角换元法求值域y=x+√（1-x∧2）过程我知道

为什么sin(α＋π/4)属于【－√2/2,1】 谢谢
还有 y∈[-1，√2],是怎样得出来的

Answer 1

因为，1-x^2存在平方根，所以，x∈[-1,1],那么令x=sinα，y=sinα+丨cosα丨，当cosα∈[-1，0]时，α∈[π/2，3π/2]，y=sinα-cosα=√2sin(α-π/4)，y∈[-1，√2]；当cosα∈[0，1]时，α∈[-π/2，π/2]，y=sinα+cosα=√2sin(α+π/4)，y∈[-1，√2],综上所述，y=x+√(1-x^2)的值域是[-1，√2]。你没注意到α的取值范围，应该是把平方根和算术平方根弄混淆了，在这里，根号开出来的必定是正数，而不是正负都可以，所以我的cosα加了绝对值。