Question

已知α，β均为锐角，且sinα=3/5, tan(α-β)=-1/3. (1)求sin(α-β)值 (2)求cosβ值

Answer 1

解：（1）由tan(α-β)=-1/3，有sin(α-β)/cos(α-β)=-1/3
那么3sin(α-β)=-cos(α-β)，两边平方得9[sin(α-β)]ˆ2=[cos(α-β)]ˆ2，
9[sin(α-β)]ˆ2=1-[sin(α-β)]ˆ2，
解得sin(α-β)=±（√10/10）
已知α，β均为锐角，由tan(α-β)=-1/3可知α-β＜0，即α＜β。
所以sin(α-β）的值为负，故sin(α-β)=-（√10/10）…①
（2）sin(α-β+β)=sinα=3/5
又sin(α-β+β)=sin(α-β)cosβ+cos（α-β)sinβ
所以sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=3/5…②
由①可求得cos(α-β)=3√10/10
将相应的值代入②式[-（√10/10）]cosβ+[3√10/10]sinβ=3/5
整理得3√10sinβ=6+√10cosβ
两边平方后整理得50（cosβ）ˆ2+6√10cosβ-27=0
cosβ=[（-3√10）±（12√10）]/50
由于β为锐角，所以cosβ=9√10/50

Answer 2

sinα=3/5
∵α为锐角
∴cosα=4/5 tanα=3/4
∵tan（α－β）=（tanα－tanβ）/（1+tanαtanβ）
代入得tanβ=13/9
得sinβ=13√10/50 cosβ=9√10/50
代入得sin（α－β）=3/5*9√10/50-4/5 *13√10/50
=-√10/10