Question

AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC弧的中点，DE垂直AB于E，交AC于F，DB交AC于G，求证：AF=FG

AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC弧的中点，DE垂直AB于E，交AC于F，DB交AC于G，求证：AF=FG

Answer 1

∵∠ADB=∠AED=∠C=90º

∴∠1与∠DAE互余，∠6与∠DAE互余

∴∠1=∠2

∴FA=FD       ①

又∵∠3互∠6互余，∠5与∠7互余

而∠4=∠5

∴∠3=∠4

∴FD=FG     ②

∴AF=FG

Answer 2

连接AD∵AB是直径∴∠ ADB=90°（直径所对的圆周角是90°）∵DE⊥AB∴∠ADE=90°-∠DAE=∠B∵D是弧AC的中点∴弧AD=弧CD∴∠B=∠DAC（等弧所对的圆周角相等）∴∠ADE=∠DAC∴AF=DF（等角对等边）∵∠DAC+∠DGA=∠ADF+∠FDG=90°∴∠DGA=∠FDG∴FD=FG(等角对等边）∴AF=FG