Question

判断函数y=f(x)=x平方-1/x在区间(0,正无穷大)上的单调性,并用定义证明你的结论

判断函数y=f(x)=x平方-1/x在区间(0,正无穷大)上的单调性,并用定义证明你的结论

Answer 1

证明：
y=f(x)=x^2-1/x，x>0
设x1>x2>0
f(x1)-f(x2)
=x1^2-1/x1-x2^2+1/x2
=(x1-x2)(x1+x2)-(x2-x1)/(x1*x2)
=(x1-x2)*[x1+x2+1/(x1*x2)]
因为：
x1>x2>0
所以：
x1-x2>0
x1+x2+1/(x1*x2)>0
所以：f(x1)-f(x2)>0
所以：f(x1)>f(x2)
所以：y=f(x)=x^2-1/x在x>0时是单调递增函数

Answer 2

设x1，x2为f(x)上两根，令x1>x2>0
那么f(x1)-f(x2)=x1²-1/x1-x2²+1/x2=(x1-x2)(x1+x2+1/x1x2)>0,所以f(x)在区间（0，正无穷）是增函数。