Question

已知圆x的平方+y的平方+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于p.q两点，o为原点，若op垂直oq,求实数的m值.

我的回答是这样的：∵OP⊥OQ，OP=OQ,所以∠OQP=45°∵x的平方+y的平方+x-6y+m=0,所以圆的圆心O（-1/2，3），半径为37/4-m,所以O到直线x+2y-3=0的距离为根号5/2,所以sin45°=根号5/2：r=根号2/2，所以m=27/4，不知道为什么错，求解，谢谢！

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)
根据OP⊥OQ：两直线斜率夹角90°，
y1×y2 + x1×x2 = 0 ①

将直线方程代入圆方程(置换掉x)：
(3-2y)^2 + y^2 + (3-2y) - 6y + m = 0
即 5y^2 - 20y + 12 + m = 0 有两实根y1、y2
y1 × y2 ＝ (m+12)/5 ②

将直线方程代入圆方程(置换掉y)：
x^2 + [(3-x)/2]^2 + x - 6[(3-x)/2] + m = 0
即 5x^2 + 10x -27 + 4m = 0 有两实根x1、x2
x1 × x2 ＝ (4m-27)/5 ③

利用②、③代入①式得到：
(4m-27)/5 + (m+12)/5 ＝0
m＝3

初始的圆方程为：
(x-1/2)^2 + (y-3)^2 = 9 + 1/4 - m = 25/4 ④
圆心O坐标为(-1/2，3)，半径为5/2
直线方程：x + 2y - 3 = 0 ⑤