Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，PE垂直于AB于点E，PF垂直于AC于点F，BD垂

如图，在三角形ABC中，AB=AC，P为BC边上任意一点，PF垂直AB于F，PE垂直AC于E，BD垂直于AC于点D，试用两种方法求证：PE+PF=BD

Answer 1

法一：

• 过P作PO⊥BD与O

• 易证四边形OBFP为矩形

• 则OB=PF

• ∵AB=AC

• ∴∠ABC=∠C

• ∵PE⊥AB,PF⊥AC,

• ∴∠EPB+∠ABC=90°，∠FPC+∠C=90°

• ∴∠EPB=∠FPC

• 则Rt△BEPQ≌Rt△BOP

• ∴BE=BO

• ∴BD=BO+OD=PF+PE

法二：

• 延长PF到O使FO=PE

• ∵AB=AC

• ∴∠ABC=∠C

• ∵PE⊥AB,PF⊥AC

• ∴△BEP∽△CFP

• ∴PE/PF=BP/CP

• ∴OF/PF=BP/CP

• 又PE⊥AB,PF⊥AC

• ∴PF∥BD

• ∴BP/CP=DF/CF

• 则△PFC∽△OFD

• ∴∠FPC=∠O

• 又∠EPB=∠FPC

• ∴∠O=∠FPC

• 则Rt△ODF≌Rt△PBE

• ∴OD=BP

• 又PF∥BD

• 则四边形BDOP为平行四边形

• ∴BD=PO

• 又PO=PF+OF=PF+PE

• ∴BD=PF+PE