Question

已知圆o的方程为x^2+y^2=9 求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹。

设过点A(1,2)的圆的弦所在直线y=k(x-1)+2=kx+(2-k)
与圆O交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点

中点P的坐标(x0,y0)
2x0=x1+x2
2y0=y1+y2
x1^2+y1^2=9.........1式
x2^2+y2^2=9.........2式
2-1式
(x2+x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0
(x2+x1)(x2-x1)+k(x2-x1)(y1+y2)=0
当x1≠x2时
(x2+x1)+k(y1+y2)=0
2x0+2ky0=0
k=-x0/y0
因为中点也在直线上
直线斜率k=(y0-2)/(x0-1)
所以通过中间参数k，得到等式
-x0/y0=(y0-2)/(x0-1)
即
-x/y=(y-2)/(x-1)
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
是个圆
当x1=x2,也满足(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
所以综上
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4

为什么要2式-1式？这么做的意义是？（本人学渣……先谢谢各位了）

Answer 1

如果参加高考，这样解题，就没有希望了，奥林匹克高手告诉你简单的方法啦
高考方法一：
P(x,y)

OP⊥弦AB
k(OP)*k(AB)=-1
(y/x)*(y-2)/(x-1)=-1
(x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25
方法二：
P(x,y)，弦AB
xA+xB=2x,yA+yB=2y
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=(y-2)/(x-1)
(xA)^2+(yA)^2=9......(1)
(xB)^2+(yB)^2=9......(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
2x+2y*(y-2)/(x-1)=0
x^2-x+y^2-2y=0
(x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25
如果奥林匹克高手这样解都看不明白，那你要改文科了。

追问

为什么那样解就没有希望了？太慢了？
方法二里的（1）-（2）意义是？只是为了构造出一个圆的方程么……
嘿嘿真不好意思我就是读文科的……让您见笑了。

追答

就是解代数方程，消元呀
那样解就太慢了。做不完考试题目呀，尤其是竞赛。
P(x,y)
OP⊥弦AB
k(OP)*k(AB)=-1
(y/x)*(y-2)/(x-1)=-1
(x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25
简单，省时，省纸。