Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD垂直于平面ABCD，AB＝AD，角BAD＝60度，E、F分

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD垂直于平面ABCD，AB＝AD，角BAD＝60度，E、F分别是AP、AD的中点，EF平行于平面PCD。求证平面BEF垂直于平面PAD

Answer 1

证明：因为：∠BAD=60D，AB=AD，连结BD，得△ABD是等边三角形（有一个角是60D的等腰三角形是等边三角形），F是AD的中点，所以，AF垂直平分AD, BF⊥AD..(1)。因为平面PAD垂直于平面ABCD，在△APD中做FG⊥AD，交AP于G，则∠BFG（代表平面PAD和平面ABCD的两面角）=90D；所以BF⊥FG...(2)，则BF⊥平面PAD（BG垂直平面PAD内相交的两条直线AD和FG），得：BF⊥EF（BF垂直平面PAD内所有直线）；EF∈平面BEF∩平面PAD,且经过BF∈平面BEF；所以平面BEF⊥平面PAD。证毕。具体见下图：

Answer 2

证明：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点 ， ∴EF∥PD， 又 ， ∴直线EF∥平面PCD。 （2）∵AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点 ， ∴BF⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=A D， ∴BF⊥面PAD， 所以，平面BEF⊥平面PAD。