Question

定积分的最小值为多少

问 应如何求？为什么？谢谢

Answer 1

该定积分原函数为F(x)=x²-4x，有G(x0)=F(x0)-F(1)=(x0)²-4x0+3，
配方后得G(x0)=(x0-2)²-1，
明显，当且仅当x0=2时G(x0)取最小值-1。

或者：
G(x0)=F(x0)-F(1)，由于被积函数各系数均为常数，知F(1)亦为常数，得F'(1)=0，
于是G'(x0)=F'(x0)=f(x0)，x0<2时f(x0)<0，x0>2时f(x0)>0，
故当且仅当x0=2时G(x0)取最小值，代入后得G(x0)=-1。

这里定积分上限是个自变量，故可构成一个新函数G(x0)，利用新函数的一些性质对其变形(如配方法，复杂点的可求导找驻点，再把驻点值代入G(x0)中)，即可求出极值。

祝愉快

Answer 2

先求出原函数，就是一元二次函数。都大学生了，一元二次函数的最值都不会求吗？