Question

已知函数f（x）=cos^2X-根号3sinxcosx+1。（1）求函数f（x）的单调递增区间。

已知函数f（x）=cos^2X-根号3sinxcosx+1。（1）求函数f（x）的单调递增区间。（2）若f（a）=5/6，a属于 (π/3，2π/3），求sin2a的值。

Answer 1

解1：
f(x)=cos²x-(√3)sinxcosx+1
f(x)=(1/2)(2cos²x-1)-[(√3)/2]2sinxcosx+3/2
f(x)=(1/2)cos(2x)-[(√3)/2]sin(2x)+3/2
f(x)=cos(π/3)cos(2x)-sin(π/3)sin(2x)+3/2
f(x)=cos(2x+π/3)+3/2
依余弦函数的性质，可知：
当2kπ+π＜2x+π/3＜2(k+1)π时，cos(2x+π/3)单调递扰旁增，其中：k=0、±1、±2……，下同，
2kπ+π＜2x+π/3＜2(k+1)π
2kπ+2π/3＜2x＜2kπ+5π/3
解得：kπ+π/3＜x＜kπ+5π/6
即：f(x)的单调增区间是：x∈(kπ+π/3，kπ+5π/6)，

解2：
已知：f(a)=5/6，
而：f(a)=cos²a-(√3)sinacosa+1
所以，有：
cos²a-(√3)sinacosa+1=5/6
cos(2a+π/3)+3/2=5/6
cos(2a+π/3)=-2/3
2a+π/3=2kπ+arccos(-2/3)，（其中：k=0、±1、±2…仿李丛…，下同）
2a=2kπ+arccos(-2/3)-π/3
a=kπ+(1/2)arccos(-2/3)-π/6
已知：a∈(π/3，2π/3)，
所以：a=(1/备樱2)arccos(-2/3)-π/6

Answer 2

f(x)=(1+cos2x)/2-√3sin2x/2+1
=cos(2x+π/3)+3/2
（1）2kπ-π≤2x+π/3≤2kπ，k∈Z
所以闹递增区间为[kπ-2π/3,kπ-π/6]，k∈Z
（2）f(a)=cos(2a+π/3)+3/2=5/6，所以cos(2a+π/3)=-2/3
因为2a∈(2π/3,4π/3)，配衫卜所以2a+π/3∈(π,5π/塌扒3)
sin(2a+π/培穗3)=-√5/3
sin2a=sin[(2a+π/3)-π/3]=(2√3-√5)/6

追问

有没有图片版

追答

要上班了

Answer 3

f(x)=1/2*cos2x+1/2-3^0.5 /2 sin2x+1=sin(π/6-2x)+3/2