Question

计算行列式|x -1 0 ...0 0| |0 x -1 ...0 0| |0 0 0 ...x -1| |a0 a1 a2 ...an-1 an-2+x|

Answer 1

|x -1 0 ...0 0|
|0 x -1 ...0 0|
|0 0 0 .. .x -1|
|a0 a1 a2 ...an-2 an-1+x|
按1列展开=x乘以下面的行列式
|x -1 0 ..... 0 0|
|0 x -1 ..........0 0|
|0 0 0 .. ........x -1|
|a1 a2 a3 ... an-2 an-1+x|
加上(-1)^(n+1)a0乘以下面的行列式：
|x -1 0 ..... 0 0|
|0 x -1 ..........0 0|
..........................................
|0 0 0 .. ........x -1|
这个行列式的值=(-1)^(n-1)
记原行列式为An,于是有递推公式：
An=a0+xA(n-1)
=a0+x(a1+xA(n-2))
=a0+ a1x+x^2(a2+xA(n-3))
=.......................................
=a0+ a1x+a2x^2+...+a(n-1)x^(n-1)

Answer 2

解：　作变换c1＋xc2＋x＾2c3＋．．．＋x＾ncn＋1行列式等于　0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－1　　0　．．．　0　　　　0　0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x　－1　．．．　0　　　　0　　　．．．．．．　　　　　　．．．．．．　　　　　　　　．．．．．．0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0　　0　．．．　x　　　－1a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n　a1　a2　．．　an－1　an按第1列展开8　行列式　＝　（a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n）＊（－1）＾（n＋1＋1）＊－1　　0　．．．　0　　　　0　　x　－1　．．．　0　　　　0　　　　　　　　．．．．．．　　　　　0　　0　．．．　x　　　－1　＝　（a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n）＊（－1）＾（n＋1＋1）＊（－1）＾n＝　a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n．