Question

设f(x)是定义在对称区间(-L,L)内的任何函数，证明……

设f(x)是定义在对称区间(-L,L)内的任何函数，证明：（1）h(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数（2）定义在区间（-L，L）内的任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和

Answer 1

（1）因为，f(x)是定义在对称区间(-L,L)又h(-x)=f(-x)+f(x)=h(x)，所以h(x)=f(x)+f(-x)是偶函数;而g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)，所以g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数；（2）因为h(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，所以h(x)/2也是偶函数；g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数，所以g(x)/2也是奇函数又f(x)=h(x)/2+g(x)/2而f(x)是定义在对称区间(-L,L)内的任何函数所以，定义在区间（-L，L）内的任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和