Question

一个关于线性代数矩阵的问题

若A是n阶矩阵，满足A²+3A-2E=O，则（A+E）的逆矩阵为=？
我是这样解的
上式变形为A²+A=2E-2A → A(A+E)=2E-2A → （A+E）^-1=A(2E-2A)^-1
我做得和答案不一样啊，求解我这样做到底错哪了？

Answer 1

最后应该增加一步：
A(A+E)=2E-2A
→A+E=A^(-1)(2E-2A)
→(A+E)^(-1)=(2E-2A)^(-1)A
但这样做也是有问题的，最后一步两边取逆中A不一定可逆，所以，
正确的做法是
A²+3A-2E=O
→A²+3A+2E=4E
→(A+E)(A+2E)=4E
→(A+E)[(1/4)(A+2E)]=E
→(A+E)^(-1)=(1/4)(A+2E)

Answer 2

你以后看到这种题就以凑为主 而且大部分都是用定义 因为A²-E=(A+E)(A-E)

原式子=A²-E+3A+(3E-3E)-E=O 括号中是我凑的

所以(A+E)(A-E)+3(A+E)-4E=O

提取 (A+E)（A-E+3E)=4E 把4移到左边不就是矩阵可逆的定义么
(A+E)1/4（A-E+3E)=E
所以 (A+E)^(-1)=(1/4)(A+2E)

说明一点：我看到你的最后一步是两边取逆这是不对的，A虽然可逆 但是你知道(2E-2A)可逆么？你怎么能够写出(2E-2A)^-1这个东西来？所以你的最后一个式子直接不对。并且我看出你的左乘右乘也有问题，你的基本功不够扎实建议多做练习。说的直白了一点 见谅

Answer 3

接着往下推应该是(A+E)*(A-2)=-4A -> A+E = (-4A)/(A-2),所以逆应该是（A-2)/(-4A)吧

Answer 4

你写反了吧？左乘和右乘不满足交换律，答案应该是(2E-2A)^-1·A吧？