Question

为什么圆锥体的体积等于和它等底等高的圆柱体体积的三分之一

小学学的时候只是倒了倒水，之后就得出了这么个公式，现在想起来，想知道是怎么证的。（我在网上看到两种证法，一种是微积分，一种是祖暅原理。微积分我是看不大懂的，所以麻烦用祖暅原理好吗？）

Answer 1

积分。 不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以。 会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。 祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。 圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做），设它为r，则易见r = Rh/H。 于是看出r与高h是一次关系，故可以构造一个三棱锥，使它与圆锥等高且截面积与之相等。问题转化为求三棱锥体积。 三棱锥体积可以用割补的方法来证明，为了简单，还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥，在立方体上进行割补。就不详细写了。