Question

在△ABC中，∠C＝90º，AC＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD交于BD的延长线于E，且AE=½

在△ABC中，∠C＝90º，AC＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD交于BD的延长线于E，且AE=½BD，DF⊥AB于F。求证：CD＝DF

Answer 1

证明：作BC、AE的延长线，交于点G。
∵AE⊥BE，∠BCA=90°，∠BDC=∠ADE
∴∠EAD=∠DBC，
∵在△AGC和△BDC中，
∠ACG＝∠BCA＝90°，AC＝BC，∠CBD＝∠CAF
∴△AGC≌△BDC（ASA）
∴AF=BD
∵BD=2AE
∴AF=2AE，即AE=EG
∵AE=EG，AG⊥BE，BD=BD
∴△BAE≌△BGE（SAS）
∴∴∠ABE=∠GBE
∴BD是∠ABC的角平分线
∵DF⊥AB，DC⊥BC
∴CD＝DF(角平分线定理)

Answer 2

楼上证明是正确的，只是我也把自己的过程写出而已。
证明：分别延AE、BC交于G，
因为∠ACG=∠BCD=90° 
 又AE⊥BE     ∠CAG=∠DBC(等角的余角相等)
AC=BC  ∴△ACG≅△BCD(ASA)
∴AG=BD
因为AE=BD/2   ∴AE=AG/2就是AE=EG，
可知BE是等腰△ABG顶角平分线
DF⊥AB∴DC=DF(角平分线到角的两边距离相等)DF⊥AB∴DC=DF(角平分线到角的两边距离相等)