Question

已知x，y满足条件

y≥x
x+7y-11≤0
4x＋y+10≥0 求z=4x-3y的最大值和最小值

（线性规划）

Answer 1

　　解：如图，三直线方程y=x，x+7y-11=0，4x+y+10=0两两联立，可求得其交点A(-3，2)，B（-2,-2)，C（11/8，11/8）

　　条件y≥x且x+7y-11≤0且4x＋y+10≥0

　　在直角坐标系中表示在直线y=x上方，直线x+7y-11下方，直线4x＋y+10=0上方的区域，即△ABC围成的区域（包括边界）

　　当x取最小值-3，y取最大值2时z=4x-3y取最小值，4×(-3)-3×2=-18

 

　　可利用向量的内积求z=4x-3y的最大值，设P（x,y）为△ABC区域内的一点，M的坐标为（4,-3）

　　则4x-3y就是向量OP与向量OM的内积，可表示为|op|·|OM|·cos∠POM

　　当-90°<∠POM<90°时其内积为正，为减化讨论先作出OM垂线，

　　由于OM的方程为3x+4y=0，所以OM垂线的方程为4x-3y=0

　　联立4x-3y=0与x+7y-11=0可求得交点D（33/31,44/31）

　　由图可看出，当点P在△ODC区域（不包括OD边）内时cos∠POM为正，

　　P与点C重合时，cos∠POM取最大值，|op|取最大值，而|OM|为定值，向量OP与向量OM的内积最大，z=4x-3y最大值：4×(11/8)-3×(11/8)=11/8

　　

Answer 2

18 36