Question

三角形ABC中，AC=2,BC=6。O是△ABC内一点，OA+3OB+4OC=0,求OC（BA+2BC)=?都是向量

Answer 1

设AC、BC的中点分别为D、E，则由向量加法的几何意义知，OA+OC=2OD，OB+OC=2OE，
于是由OA+3OB+4OC=0可得2OD+6OE=0，即OD=-3OE，所以O为DE上靠近E的四等分点。
从而OC=OD+DC=(3/8)BA+(1/2)AC=(3/8)(BC+CA)-(1/2)CA=(1/8)(3BC-CA)，
又BA+2BC=3BC+CA，
∴OC�6�1(BA+2BC)=(1/8)(3BC-CA)�6�1(3BC+CA)=(1/8)(9BC�0�5-CA�0�5)=(1/8)(9×36 -4)=(1/2)(9×9 -1)=40。

Answer 2

你好！
解：|AC|=|OC-OA|=2，∴OC^2-2OA*OC+OA^2=4，OA*OC=(OA^2+OC^2-4)/2，同理，OC^2-2OB*OC+OB^2=36，OB*OC=(OB^2+OC^2-36)/2，由OA+3OB+4OC=0得OA=-3OB-4OC,平方得OA^2=9OB^2+24OB*OC+16OC^2=9OB^2+12(OB^2+OC^2-36)+16OC^2=21OB^2+28OC^2-432，①OA*OC+3OB*OC+4OC^2=0，∴(OA^2+OC^2-4)/2+3（OB^2+OC^2-36)/2+4OC^2=0，∴OA^2+3OB^2+12OC^2=112，24OB^2+40OC^2-432=112，3OB^2=68-5OC^2，②把②代入①，OA^2=7(68-5OC^2)+28OC^2-432=44-7OC^2，OC*(BA+2BC)=OC*(OA-OB+2OC-2OB)=OC*(OA-3OB+2OC)=OA*OC-3OB*OC+2OC^2=(OA^2+OC^2-4)/2-3(OB^2+OC^2-36)/2+2OC^2=(1/2)(OA^2-3OB^2+2OC^2-40)=(1/2)(44-7OC^2+5OC^2-68+2OC^2-40)=-32.