Question

讨论实数的连续性及其应用

最好深入一点

Answer 1

1、实数连续性，是说实数对极限运算封闭
可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，
有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）
为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）
实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）

2、实数连续性有6个等价定理，包括你说的3个，它们之间可以互相证明
内容太多了，查数学分析书吧
三个定理和实数连续性的等价性，就在于这三个定理所作的运算都能划归无穷次算术运算（极限运算）
比如单调数列，An+1比An加（减）了一点，由于有界，每次加（减）数都比上次小一点（不能超过界限），这样无穷次算下来，由实数定义能保证一定会得到（实数的）结果
闭区间套也是这样，一边累加、另一边累减，两边都不过界
确界的作法跟单调有界数列类似，实数定义能保证把确界作出来

答案补充
http://www.cqvip.com/onlineread/onlineread.asp?id=24963108
这里有一篇相关内容的论文，个人觉得蛮好的。
【关键词】：实数连续性 等价命题 证明 闭区间套定理 覆盖 聚点
跟高数和数分关系非常密切。

答案补充
http://jpkc.sysu.edu.cn/sxfx/taolun/5.doc
这是一个关于关于实数连续性的基本定理的文档，你去看看，有没有帮助。我没有学过数分，只能帮到这些啦，呵呵。想当年学高数的时候，就是头疼那些证明题啊！！！

Answer 2

1、实数连续性，是说实数对极限运算封闭
可以把极限运算看成无穷次算术（加减乘除）运算，
有理数（分数）作无穷次算术运算，结果不一定是有理数（可能是无理数）
为了极限运算的结果能够存在，把有理数极限运算的结果叫做实数（包括有理数和无理数）
实数作极限运算，结果仍然在实数范围内，这个就叫实数的连续性（完备性）

2、实数连续性有6个等价定理，包括你说的3个，它们之间可以互相证明
内容太多了，查数学分析书吧
三个定理和实数连续性的等价性，就在于这三个定理所作的运算都能划归无穷次算术运算（极限运算）
比如单调数列，An+1比An加（减）了一点，由于有界，每次加（减）数都比上次小一点（不能超过界限），这样无穷次算下来，由实数定义能保证一定会得到（实数的）结果
闭区间套也是这样，一边累加、另一边累减，两边都不过界
确界的作法跟单调有界数列类似，实数定义能保证把确界作出来