Question

已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,试判断f(x)的单调性.

Answer 1

答：
任意实数x和y：f(x+y)=f(x)+f(y)
x>0时f(x)>0
令y=0：f(x+0)=f(x)+f(0)，f(0)=0
令x+y=0：f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是奇函数

设x>y，x-y>0，f(x-y)>0
所以：f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)>0
所以：f(x)>f(y)
所以：f(x)是单调递增函数

Answer 2

任意实数x和y：f(x+y)=f(x)+f(y)
x>0时f(x)>0
令y=0：f(x+0)=f(x)+f(0)，f(0)=0
令y=-x：f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是奇函数

设x>y，x-y>0，f(x-y)>0
所以：f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)>0
所以：f(x)>f(y)
所以：f(x)是单调递增函数