Question

若函数f(x)=√(x²+1)-ax(a＞0)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围

各位数学大神快来啊

Answer 1

答：
f(x)=√(x^2+1)-ax（a>0）
显然，定义域为实数范围R
求导：
f'(x)=2x/[2√(x^2+1)]-a
=x/√(x^2+1)-a
f(x)在x>=1时是单调递增函数
所以：f'(x)=x/√(x^2+1)-a>=0在x>=1时恒成立
a<=x/√(x^2+1)
=√[x^2/(x^2+1)]
=√[1-1/(x^2+1)]
x>=1，x^2+1>=2
-1/2<=-1/(x^2+1)<0
1/2<=1-1/(x^2+1)<1
所以：a<=√(1/2)<=√[1-1/(x^2+1)]
所以：0<a<=√2/2

Answer 2

解:
f(x)=根号(x^2+1) - ax
f'(x)=1/2根号(x^2+1) - a=[1-2a根号(x^2+1)]/2根号(x^2+1)
令f'(x)>=0
则
1-2a根号(x^2+1)>=0
1>=2a根号(x^2+1)
1>=(4a^2)(x^2+1)
4a^2x^2+4a^2-1<=0
x^2<=1/4a^2 -1
-根号1/4a^2 -1<=x<=根号1/4a^2 -1时递增
所以根号1/4a^2 -1<=1
1/4a^2<=2
a∈(负无穷,-1/根号8]∪[1/根号8,正无穷)