Question

若y=f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x属于[0,1]时,f(x)=x^2-1,则函数g(x)=f(x)-log3 x的绝对值

求g(x)的零点个数
答案为4 求过程！！！

Answer 1

若y=f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x属于[0,1]时,f(x)=x^2-1,则函数g(x)=f(x)-log3 x的绝对值,求g(x)的零点个数

解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数

∴f(x)关于Y轴对称

∵当x属于[0,1]时,f(x)=x^2-1，∴当x属于[-1,0]时,f(x)=x^2-1

∵函数g(x)=f(x)-log(3,|x|)

求函数g(x)=f(x)-log(3,|x|)零点个数，即求函数y=f(x)与函数y=log(3,|x|)图像交点个数

G’(x)=2x-1/(xln3)=0==>x=√(1/(2ln3))≈0.6746  (0<x<=1)

G’’(x)=2+1/(x^2ln3)>0

∴g(x)在x=√(1/(2ln3))处取极小值

g(0.6746)= 0.6746^2-1-log(3, 0.6746)≈-0.1866<0

∴g(x)在区间（0，1]上有二个零点

由于对称的关系，∴函数g(x)=f(x)-log(3,|x|)零点个数有4个零点

Answer 2

log3|x|，在x=1时，函数值为0，，x>1时，log3|x|>0，由题意知f(x)恒小于等于零，故|x|>1时g(x)无零点，又因为g(x)与f(x)均为偶函数，故只讨论[0,1]内的零点情况，且已知g(1)=0,作图判断此区间内还有另外一个0点，根据偶函数性质可知[-1,1]内有且仅有4个零点，即R上有4个零点

注：不作图的话需要通过导数和二阶导数的正负判断增减性，较复杂