Question

已知a∈R,函数f(x)=(-x²+ax)e∧x. (x∈R,e为自然数对数的底数)

已知a∈R,函数f(x)=(-x²+ax)e∧x. (x∈R,e为自然数对数的底数)
问：函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由。

Answer 1

f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x^2+2x)e^x
=(-x^2+a)e^x
函数f(x)为R上的单调函数,
需f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立
∵e^x>0 ,-x^2+a不可能恒为正值
∴只有-x^2+a≤0恒成立
即a≤x^2恒成立
∵x^2≥0
∴a≤0，此时，f'(x)≤0恒成立，f(x)为单调递减函数
∴a的取值范围是a≤0

追问

谢谢老师～

老师你求导求错了 题目是+ax. 不是+2x. 不过思路我已经会了 谢谢老师

追答

着急了，再做一遍
f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x^2+ax)e^x
=[-x^2+(a-2)x+a]e^x
函数f(x)为R上的单调函数,
需f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立
即-x^2+(a-2)x+a≥0或-x^2+(a-2)x+a≤0恒成立
∵-x^2+(a-2)x+a≥0不可能恒成立
∴只有-x^2+(a-2)x+a≤0
即x^2-(a-2)x-a≥0恒成立

∴Δ=(a-2)^2-4a≤0
即a^2-8a+4≤0
解得：a的取值范围是4-2√3≤a≤4+2√3

Answer 2

空间看了看

追问

你说什么？

追答

空间看

追问

你想表达什么-_-||